RIT:ZKSwap团队解读零知识证明算法之Zk-stark——Arithmetization_BTC

前言

本系列的第一篇文章，以Zk-snark做对照，分别从概念和算法流程上，做了概括性的介绍。建议在阅读本篇文章之前，先阅读下第一篇文章的内容。本篇文章，让我们由浅入深，一起踏上探索Zk-stark算法奥秘的旅途。

回顾

在第一篇的文章中讲到，Zk-stark算法大体可以分为两个部分：Arithmetization和LowDegreeTesting。本篇我们先详细介绍算法的第一阶段Arithmetization。Arithmetization的整体步骤如下图所示：

那什么是Arithmetization？具体过程又是什么呢？带着这些疑问，让我们仔细的品味文章后面的内容。

首先，什么是Arithmetization？

Arithmetization就是把CIstatement转化成正式的Algebraiclanguage的过程，此步骤有两个目的：第一，把CIstatement以简洁清晰的方式呈现出来；第二，把CIstatement嵌入到代数域，为后面多项式的转换做铺垫。Arithmetizationrepresentation主要由两部分组成：第一，执行轨迹；第二，多项式约束。执行轨迹是一个表，表的每一行代表一个单步的运算；多项式约束的构造是和执行轨迹相辅相成的，即当前仅当执行轨迹是正确的，多项式约束会满足执行轨迹的每一行计算。最后把执行轨迹和多项式约束结合组成一个确定的多项式，然后对多项式进行LDT验证。至此，验证CIstatement的问题转换成了验证确定性多项式LDT的问题。

Arithmetization

知道了Arithmetization的整体流程，接下来，我们讨论下具体的过程。为了便于理解，我们用一个简单的例子，来贯穿整个Arithmetization的过程。每个人都去过超市，一般超市的收据的内容如下：

现在，好莱坞人气演员Bob声称："thetotalsumweshouldpayatthesupermarketwascomputedcorrectly"。那怎么验证呢？其实很简单，这时另一个气人演员Alice只要对着收据，每一项累加求和就可以完成验证。那么，这只是一个很简单的例子，事实上，Alice只需要5步，就可以完成验证过程。试想这样一个场景：毕竟Bob很有钱，在超市买了1000000样东西，同样，他又声称："thetotalsumweshouldpayatthesupermarketwascomputedcorrectly"，这时候，Alice真的生气了，这怎么验证，按照之前的办法，得大约要算1000000步，闹呢？谁爱干谁干。Bob心里也心疼Alice，毕竟那么多年了。心想，有没有什么牛掰的办法能让Alice用很少的步骤，就能确信我说的是对的呢？于是，Bob开动了最强大脑模式。下面，让我们用上面简单的例子，跟随Bob去寻找这个牛掰的办法。

Bob心想，你不就是验证最终的总和对不对么？那我就把总和的计算过程列出来，我保证每次的累加都对，那么我最终的结果一定也是对的。于是Bob在收据上新增了一列，用来保存计算总和过程中的中间值，这就是执行轨迹。新增的一列值需要满足，初始化的值为0、最终的值和要付的总和相等、中间的每一个值都要等于上一个值加上上一行物品的单价，这构成了多项式约束。从图2可以看出：

多项式约束总共有3个，两个是边界约束，一个是循环约束；多项式的大小和执行轨迹的答案小没有关系，即表格的长度即使扩大到1000000，最终的多项式约束仍是这三个，唯一变化的是变量x的取值范围而已。在这里，借用V神的话来描述一下Zk-stark：Zk-Stark不是一个确定性的算法，它是一大类密码??数学结构，对于不同的应用，具有不同的最优设置。可以理解为，对于不同的问题，具有不同的算术化的方案，因此要做到具体问题具体分析。但是有一个共同目标就是，无论是什么问题，得到的执行轨迹最好是用一个LOOP就可以表示，这样得到的多项式约束也就最为简洁。多项式约束的个数和形式直接影响到了proof的大小和Zk-stark算法的性能，因此，寻找一个最优的设置对于Zk-stark算法显得尤为重要。回归到主题，现在Bob已经得到了多项式约束和执行轨迹，那么如何把它们转换成一个确定的多项式呢？请看下图：

Bob首先把关注点切到执行轨迹，可以看到执行轨迹有2列，一列是单项价格，一列是价格总和，我们分别对两列的元素进行拉格朗日插值，得到两个函数f(x),w(x)，0≤x≤5。分别对两个函数进行域扩展，得到了在更多的点上的评估，即f(x)，w(x)，0≤x≤10000。

然后，Bob把f(x)，w(x)和多项式约束等式结合，得到一组确切的多项式约束(图中红色圈2所示)，以循环约束多项式为例：

1≤x≤5w(x)-f(x-1)-w(x-1)=0(1)

令Q(x)=w(x)-f(x-1)-w(x-1)，则有Q(1)=0、Q(2)=0、Q(3)=0、Q(4)=0、Q(5)=0。

根据已知事实，度为d的多项式H(x)在x=n处为0，则存在一个度为d-1的多项式H(x),满足d(H(x))=d(H(x))-1&&H(x)=H`(x)*(x-n)

因此对于Q(x)，度为5，存在一个多项式Ψ(x)，度为0，即常量，满足Q(x)=Ψ(x)*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，令目标多项式T(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，度为5，则有：

Q(x)=Ψ(x)*T(x)(2)

验证者Alice从0≤x≤10000随机选择一点a，发送给证明者Bob，要求Bob返回相应的值，以公式(2)为例，Bob需要返回w(a)、w(a-1)、f(a-1)、Ψ(a)，然后Alice判断等式是否成立，即：

w(a)-f(a-1)-w(a-1)=Ψ(a)*T(a)(3)

如果等式成立，则Alice大概率相信执行轨迹是正确的，那么原始计算成立。假如验证者Bob作恶，讲表格中的4.98改成5.98把，那么Q(1)=w(1)-w(0)-f(0)=5.98-0-4.98=1，不等于0。在这种情况下，观察公式(2)，等式右边为Q(x)，度为5，x=1不是零点；等式右侧Ψ(x)*T(x)，令G(x)=Ψ(x)*T(x)，度为5，因为T(x)在x=1处是零点，所以G(x)在x=1处也是0点，因此，等式两边实际上是度相等的不同多项式，其交点最多为5个，因此在0≤x≤10000范围内，只有5个值相等，9995值是不等的，因此随机的从0≤x≤10000中选择一个值，验证不通过的概率是99.95%，如果域扩展的范围更大，则验证不通过的概率将会更接近于1。按照同样的逻辑，分别处理边界约束多项式，得到的结果如图所示。

下面，我们讲讨论如何增加零知识属性。

对于证明者Bob来讲，执行轨迹是不希望被验证者Alice看到的，因为它会包含一些重要的信息，因此，限定验证者Alice只能从6≤x≤10000范围内随机选择一个值，进行验证，当然这种限定，双方都是同意的。

存在这样一类问题。当验证者Alice收到证明者Bob反馈的值时，如何保证这些值是合法的，确实是通过多项式的形式计算，并且这些多项式是小于某个度的，而不是证明者Bob仅仅为了验证通过，而生成的随机值？比如如何确保w(a)、w(a-1)、f(a-1)、Ψ(a)是多项式w(x)、f(x)、Ψ(x)分别在x=a&&x=a-1上的取值呢，且多项式w(x)、f(x)、Ψ(x)的度小于某个固定值的呢？这些问题将在下一篇文章中给出答案，在此之前，不如先讨论一下，为何多项式的度小于某个固定值就能证明原始执行轨迹式正确的呢？

从以上的例子中，可以看出，当且仅当执行轨迹是正确的时候，Q(x)才会在x取值为1、2、3、4、5时，等于0。那么Q(x)才可以被目标多项式T(x)整除，即：Ψ(x)=Q(x)/T(x)，d(Ψ(x))=d(Q(x))-5。

从图3可以看出，需要验证的多项式的个数时5个(红色圈4所示)，如果对每一个多项式都进行LDT，那么消耗是很巨大的，因此，可以通过将这些多项式进行线性组合(红色圈5所示)，当且仅当每个多项式都满足小于某个度时，其线性组合后的多项式也是小于某个度的，这个条件时充分的，具体的细节见后续的系列章节。

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