前言
上一篇文章中，我们在"F_101"上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在"F_101"中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。另一个子群
实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在"F_101"上的全部点。但是，曲线在"F_101"上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在"F_101"上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。
在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对"F_101"进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足j^2mod17=15的j用于对"F_101"的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为“F_101的二次扩域”。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：
慢雾：Apple Store恶意钓鱼程序可模仿正常应用程序，盗取账号密码以绕过2FA:7月25日消息，慢雾首席信息安全官23pds发推提醒用户注意Apple ID出现的最新攻击案例，其中Apple Store出现恶意钓鱼程序，通过模仿正常应用程序盗取用户账号和密码，然后攻击者把自己的号码加入双重认证的信任号码，控制账号权限，用来绕过苹果的2FA。“加密货币用户务必注意，因为目前有不少用户、钱包的备份方案是iCloud备份，一旦被攻击，可能造成资产损失”。[2023/7/25 15:56:56]
我们随机选择(66,0+23j)这个元素来验证其满足曲线方程：
左侧：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42
动态 | 工信部成立密码应用研究中心，推动密码应用与创新发展:1月19日，工业和信息化部召开部密码应用研究中心（下称“中心”）成立大会，工信部党组成员、副部长陈肇雄和国家密码管理局副局长何良生共同为中心揭牌。中心的成立，是工业和信息化部贯彻落实《中华人民共和国密码法》、推动密码应用与创新发展的重要举措。中心将紧紧围绕党和国家战略需求，致力于增强密码原始创新能力，强化科研供给侧与应用需求侧对接，深入推进与部属高校密码学院协同创新，与相关部属单位密码力量融合发展，努力建设成为密码创新发展高地，为促进工业通信业高质量发展、加快制造强国和网络强国建设提供有力保障。[2020/1/22]
右侧：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42
左侧等于右侧，验证完毕。
在发现通过域扩张后还能找到更多的17阶点后，我们不禁会想：
金色相对论 | 肖臻：区块链核心技术还是属于分布式系统、密码学等计算机传统领域，跟机器学习也有很好的结合点:在今日的金色相对论中，针对“区块链、分布式系统以及机器学习领域的研究具体应用有哪些”的问题，北京大学计算机系研究员、博士生导师，肖臻表示，虽然区块链表面上是个新的领域，其实核心技术还是属于分布式系统、密码学等计算机传统领域，跟机器学习也有很好的结合点，目前我们正在致力于利用该技术实现智能合约的高效、细粒度并发执行。已有的区块链技术（比如以太坊中的智能合约）只支持单线程，就是因为在多核环境下并行程序的执行存在不确定性，影响区块链中的节点达成共识。我的课题组开发的确定性重演技术有希望极大地提高智能合约的执行效率，成为区块链3.0中的核心技术。我们的另一项成果是基于多智能体的智能决策系统，通过强化学习技术使得各智能体在去中心化的情况下独立做出判断，实现某个预先设定好的效益函数的最大化。[2019/9/12]
继续对”F_101的二次扩域”进行扩张，能否找到更多的17阶点呢？
声音 | 密码学博士高承实：公链、联盟链、私有链都还存在诸多问题:今日在一个讨论沙龙上，密码学博士高承实经过多方面对比分析提出其特有的通证概念与通证经济模型，他认为公链、联盟链、私有链都还存在诸多问题，真正的区块链底层基础设施应该可以满足以上三者的接入。[2019/3/14]
或者是：为了找到全部的17阶点，我们需要对F_101进行几次扩张呢？
嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E是定义在F_101上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足17整除q^k-1的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对F_101进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部17阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在”F_101的二次扩域”上，我们已经找到全部的17阶元素。
Millier循环
红烧肉在上海交大的密码学及计算机安全实验室发布了抗量子攻击纲要:红烧肉（HSR）在上海交大的密码学及计算机安全实验室发布了抗量子攻击纲要 。[2017/12/19]
下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算e(P,Q)时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将P坐标的x和y分量带入求值：
METASTATE的博客中作者已经计算了e((1,2),(90,82u))点的结果为97+89j。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。
其中f_17是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算f_17，这会增加一些计算量。
因此我们需要计算
的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：
接下来我们来计算这些直线的方程：
这样我们已经可以计算f_17的结果：
最后我们计算(81+52j)^600
完全解决curve101配对问题
实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：
可以看到GT也是一个循环群，他其实是在“F_101的二次扩域”上满足方程x^17=1的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位，那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8=384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。
通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。
乔沛杨趣链科技基础平台区块链底层密码学小组
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